Cách thức hệ số bất định thông thường được biết đến là phương pháp UCT được sử dụng trong quá trình chứng minh bất đẳng thức. Tại bài viết này chia sẻ cho bạn đọc khái niệm về phương pháp này, đồng thời hướng dẫn thêm một số ví dụ và bài giải chi tiết cho các bạn đọc đang quan tâm. Hãy theo dõi ngay dưới đây để nắm mọi thông tin đầy đủ nhé!
Khái niệm về phương pháp UCT là gì?
Phương pháp UCT hay còn được gọi đầy đủ là phương pháp hệ số bất định, tên tiếng Anh cụ thể là Undefined Coefficient Technique. Đây là một trong các hình thức được ưa chuộng nhiều trong khi chứng minh những bất đẳng thức, bước đệm quan trọng của tư duy, đem đến các lời giải chính xác.
Bài toán mở đầu của phương pháp UCT
Cho các biến số a, b và c là những số thực dương, đáp ứng yêu cầu a+b+c = 3. Hãy chứng minh Phương pháp UCT bởi điều sau đây:
1a2+1b2+ 1c2+2(a2+b2+c2)35
Lời giải:
Chúng ta dùng công thức bất đẳng thức dưới đây:
1a2+2a2373-2a3
Rõ ràng với bất đẳng thức này giống như với:
(a-1)2(2a2+6a+3)3a20
Sự thật là đúng với a bằng số thực dương. Dùng những bất đẳng thức giống với b cùng c. Chúng ta cần phải đi chứng minh đẳng thức khi diễn ra a=b=c=1.
Chắc rằng khi đọc tới lời giải của bài toán mở đầu này mọi người đều gặp khó khăn và sẽ rất khó hiểu vì sao lại có thể tìm ra phương pháp giải phù hợp. Phải chăng đây là một dự đoán khá vô hướng. Hay cũng sẽ có một số người nghĩ với bài toán này được làm nên bởi chính một bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời chính là không phải.
Hầu hết mọi thứ đều tuân theo một quy luật của chúng.
Tại những phần kế tiếp, chúng tôi sẽ đánh giá cũng như phân tích chúng về mặt kỹ thuật để tìm thấy những bất đẳng thức phụ, đồng thời mở rộng các vấn đề trên theo một chiều hướng được nhận định là mới mẻ. Kỹ thuật đó có tên gọi là UCT, đầy đủ là Phương pháp UCT. Đây là một kỹ thuật rất cơ bản, cũng là nền tảng vô cùng quan trọng tại con đường tìm kiếm ra các lời giải cho các bất đẳng thức đòi hỏi sự khó cao.
Một số bài toán của Phương pháp UCT cơ bản
Chúng ta sẽ bắt đầu UCT này bởi cách đưa ra những giải thích đối với việc tìm thấy những bất đẳng thức phụ trên. Chúng cũng chính là lời giải đáp đầy đủ nhất cho những bài toán về sau này của mọi người. Bài toán tại những biến trong cả hai vế cùng với điều kiện đều không có sự ràng buộc sau làm cho mọi người nghĩ tới cách tách chúng theo từng biến. Từ đó chứng minh chúng một cách đơn giản nhất có thể. Nhưng cụ thể, chúng ta chỉ áp dụng chừng đó thôi là không đủ. Nếu như mọi người chứng minh bất đẳng thức dưới đây:
1a2+2a2353(a-1)(a+1)(2a2-3)3a20
Thực tế không hoàn toàn đúng về a thực dương. Nhưng mọi người đừng bỏ cuộc ở đây, vì ở phương pháp này chúng ta chưa dùng điều kiện được cho là a+b+c=3. Do đó chúng ta sẽ không đi theo con đường cũng như tư duy suy nghĩ cơ bản đầu tiên nữa. Thay vào đó sẽ tìm những hệ số để bất đẳng thức trên được nhận định là đúng. Như sau:
1a2+2a2353+ma + n (1)
Trong đó biến số m với n là những hệ số chưa được xác định cụ thể. Bên cạnh đó đối với biến b và c cũng tương tự. Cộng các vế với nhau ta sẽ có đầy đủ như sau:
1a2+1b2+1c2+2a2+2b2+2c2353+m(a+b+c)+3n=53+3(m+n)
Vì vậy, tại đây hai hệ số m với n sẽ phải đáp ứng điều kiện là m+n=0n=-m. Thay vào chỗ (1) phía trên ta sẽ được:
1a2+2a2353+m(a-1) (2)
Đến lúc này, chúng ta chỉ cần xác định được hệ số duy nhất chính là m để cho bất đẳng thức ở (2) phía trên là đúng. Cần lưu ý đối với bài toán trên chính là điểm cực trị phải đạt được ở a=b=c=1, vì vậy chúng ta cần phải xác định biến số m sao cho đáp ứng:
1a2+2a2353+m(a-1)(a-1)((a+1)(2a2-3)3a2-m)0
Tại đây khi a=1 thì chúng ta sẽ được (a+1)(2a2-3)3a2=-23 sau đó chúng ta dự đoán rằng biến số m =-23 để tạo nên một đại lượng bình phương dạng là (a-1)2 tại biểu thức. Tiếp đến, chúng ta dễ dàng chứng minh theo bất đẳng thức phụ như sau:
1a2+2a2373-2a3
Quá trình để tìm được bất đẳng thức phụ bởi Phương pháp UCT đã được phân tích một cách cụ thể, chi tiết ở phía trên. Tuy nhiên đây sẽ không phải là phương pháp duy nhất để mọi người có thể tìm ra các hệ số. Mọi người có thể dùng tính chất của các đường tiếp tuyến nằm ở một điểm của đồ thị hoặc là dùng đạo hàm. Tuy nhiên hình thức này đơn giản và hữu hiệu so với mặt trực quan cũng giống cách thức hiện.
Kỹ thuật chuẩn hóa cùng với phương pháp UCT
Tại đây chúng ta sẽ chuyển tới một khoảng không gian khác với một lớp bất đẳng thức thuần nhất dựa theo đối xứng với ba biến cùng kỹ thuật chuẩn hóa kết hợp phương pháp UCT.
Dạng đa thức f (a,b,c) đã đối xứng định nghĩa theo hình thức f (a,b,c) = f'(a’,b’,c’), trong đó (a’,b’,c’), chính là một dạng hoán vị ngẫu nhiên của (a,b,c). Hay hiểu đơn giản:
f (a,b,c) = f (b,c,a) = f (c,a,b)
Tính chất thuần nhật của một dạng đa thức đối xứng theo ba biến tại miền của D, tức là: f (ka,kb,kc) = knf (a,b,c) với mọi biến k,a,b,c D, n = const chỉ dựa vào một hàm là f (a,b,c). Hay hiểu nôm na đa thức thuần nhất nếu như chúng là tổng của những đơn thức bậc nhất. Bởi vì một số tính chất của hàm thuần nhất mà chúng ta có thể nhanh chóng chuẩn hóa điều kiện của những biến đề đơn giản hóa trong việc chứng mình. Chúng ta có thể chuẩn hóa chúng với ba biến. Hãy cùng đến với các hằng số khác để có thể thấy tác dụng của phương pháp UCT này nhé.
Tổng kết về phương pháp UCT
Sau một giai đoạn tìm hiểu cũng như phân tích chi tiết những bài toán, chắc hẳn rằng mọi người cũng đã có thể cảm nhận được mọi công dụng của phương pháp UCT. Đây là một kỹ thuật rất dễ hiệu cũng như đơn giản cực kỳ. Chúng tôi không coi đây là phương pháp chính thống mà dễ hiểu, chúng là một hình thức kỹ thuật cần phải biết và nắm rõ khi học về bất đẳng thức. Nhiều người có đánh giá rằng UCT không có bất kỳ ý nghĩa gì nhưng về thực tế chúng vẫn được áp dụng trong nhiều trường hợp
Sau khi mọi người đã nắm rõ mọi kiến thức cơ bản đến nâng cao về phương pháp UCT, hãy dùng chúng để giải quyết các bài toán khó bởi các biến phù hợp. Nếu như mọi người đã biết UCT theo hình thức thông thường thì đều có thể sử dụng một cách phù hợp. Chúc mọi người áp dụng thành công nhé!
